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更新于2019-09-23 21:13:10
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小朋友學數學,首先是從具體的東西開始,比如點數,或者掰手指來算加減法。
接下來,我們要學習把數從具體的東西中抽象出來,也就是說,在算加減乘除的時候,腦子里關心的是數字,而不再是具體的東西了。
再下一步,我們要學習把數的結構和關系從具體的數中抽象出來,也就是說,我不再關心具體是什么數,我只關心結構和關系,什么數放進去都滿足這樣的結構和關系——這就是代數。
數學就是這樣一層一層抽象上去的,每抽象一層,再看前一層的東西時,就會猶如居高臨下,擁有了一個新的視角。

前些日子聽說Vita哥哥的小表哥去參加了一個編程比賽,他媽媽跟我說里面有一道題涉及了負數次方的概念,小家伙不懂,所以沒做出來,有點遺憾。

我忽然覺得這是個很有趣的問題。

負數次方其實并不是一個獨立的概念,只不過是把指數擴展到了負數而已,就好像我們可以把加減乘除運算擴展到負數一樣,它一定是能夠從已知的一些規律推導出來的。

負數怎么能與負數相乘?帶孩子理解“乘法”的本質...

一年半之前,我跟Vita哥哥推導過兩個負數相乘的規律。

簡單總結一下:

首先,我們知道乘法就是連加,那么我們很容易把其中一個乘數推廣到負數,例如:

如果另一個乘數也推廣到負數,我們可以把其中一個負數的乘數寫成兩個正數的差,然后用乘法分配律展開:

現在用剛才一個乘數是負數的計算方法,分別計算1x(-5)和8x(-5),就可以得到(-7)x(-5)=35:


通過這個例子,娃學會了怎樣使用數學語言來進行推理(盡管這并不是一個嚴格的證明),我覺得這是一個很重要的數學能力。

好了,那么這次的問題就是:


我把問題寫在了白板上,希望他能夠嘗試自己想一想。
一開始他也找不著思路,我提示他可以回憶一下,當兩個底數相同的冪相乘的時候,指數是怎樣變化的。
有了這個提示,他最后還真的給做出來了,雖然推理過程寫得十分混亂,大家感受一下:

這個推理的核心都在畫紅圈的地方,我來替他整理一下。
首先,底數相同的兩個冪相乘,指數是相加的關系,我看到他在上方寫了幾個例子,比如10²x10³=10,但是令我比較意外的是他把這個規律寫成了兩條公式:

Hmm,不簡單吶,說明已經有一定的代數思想了。
后面的推理大致是這樣的:
如果設a和b互為相反數,比如2和-2,那么就有:
到這里,他把n用我問題中的數2代入,于是有:
兩個數的乘積等于1,說明它們互為倒數,因為2²=4,所以:

Bingo!
好吧,既然你已經有了代數思維,那不妨進一步總結一下這個規律如何?

不錯不錯,就是這個啦:

既然有點上道了,那么就再來個進階的吧:

好了,這次是問2的1/2次方等于幾?
其實思路跟之前差不多,我就沒多提示了,哄妹妹去午睡,出來之后我看到了這個:

Bingo!
整理一下:
因為2的1/2次方乘以它自己等于2,所以2的1/2次方等于2的平方根。
到這里,我們又可以追問了,這個規律能不能總結成公式呢?

基本上能寫出來啦,只不過,a次根號這個寫法Vita哥哥是不會的,是我告訴他這么寫的,沒辦法,這個實在有點超綱啦。。。
娃在解決這兩個問題當中所展現的代數思想讓我感覺驚喜了一下下,畢竟代數屬于比較高級的抽象。
“抽象”是理解數學概念的關鍵
小朋友學數學,首先是從具體的東西開始,比如點數,或者掰手指來算加減法。
接下來,我們要學習把數從具體的東西中抽象出來,也就是說,在算加減乘除的時候,腦子里關心的是數字,而不再是具體的東西了。
再下一步,我們要學習把數的結構和關系從具體的數中抽象出來,也就是說,我不再關心具體是什么數,我只關心結構和關系,什么數放進去都滿足這樣的結構和關系——這就是代數。
數學就是這樣一層一層抽象上去的,每抽象一層,再看前一層的東西時,就會猶如居高臨下,擁有了一個新的視角。
比如說,說到偶數和奇數,從代數的視角來看,就是2n和2n+1(n是整數),用這樣的結構去推導很多性質就非常容易了,比如加減法的奇偶性;說到一個三位數,那就是100a+10b+c(a是1~9的整數,b、c是0~9的整數),進而你可以由此理解各種進制的本質……
你看到了更多本質的東西,這就是代數的魅力。
所以,如果娃的抽象思維能力還不錯,了解一下代數的思想還是很有必要的,說不定就打開了什么新世界的大門。
Vita哥哥從圖書館借到了一本很不錯的書,他很喜歡看,了解一下:


《可怕的科學》系列應該是很有名的,這本講代數的也是這個系列一貫的風格——各種無厘頭和冷笑話,娃看完經常會記得這些橋段,比如這張講二次方程解法的圖:

他看完就經常跟我叨叨那個什么“應急按鈕”,神秘兮兮的,哈哈,應急按鈕到底是啥呢?原來是那個求根公式:

除此之外這本書還有很多有趣的內容,比如帕斯卡三角(楊輝三角)與N次多項式系數的關系:

以及函數和圖像:

對于小學生來說,內容雖然還是有點難度的,但是架不住很多地方確實很搞笑,感興趣的話買一本看看吧。
順便讓自己回憶一下這些知識,不要過兩年被娃鄙視了……

來源:小花生網
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V2 超級版主 發表于2019-08-27 11:15:15

數學還是很有意思的哈~
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V8 發表于2019-08-28 09:29:29

7歲就學平方根了??這么牛
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V7 發表于2019-08-28 09:37:03

牛娃啊 孩子好聰明
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V7 發表于2019-08-28 14:51:05
1#

這7歲的娃也太厲害了吧
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V7 發表于2019-08-28 14:51:36
2#

邏輯思維鍛煉一下挺好的
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V8 發表于2019-09-03 17:52:43
3#

引用:原回帖由 wind0531 于 2019-08-28 09:29 發表

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7歲就學平方根了??這么牛
神童了吧
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V11 發表于2019-09-03 17:52:58
4#

這厲害了
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V7 發表于2019-09-03 17:53:17
5#

程序員爸爸教數學綽綽有余哈
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V10 發表于2019-09-03 17:53:53
6#

7歲就學象限圖了??
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V7 發表于2019-09-03 17:54:30
7#

太超綱了吧
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V1 版主 發表于2019-09-04 12:19:13
8#

智商這么高,7歲就會平方根,以后還得了
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V9 發表于2019-09-04 14:17:20
9#

我家侄女5歲學四五年級數學了
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V14 發表于2019-09-04 15:33:47
10#

剛五周歲的孩子還在吃力得應付10以內加減
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V7 發表于2019-09-04 15:34:34
11#

神童?
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V14 發表于2019-09-04 18:56:58
12#

引用:原回帖由 1983chai 于 2019-09-04 15:33 發表

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剛五周歲的孩子還在吃力得應付10以內加減
握個爪
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